Составные натуральные числа: решаем задачи ОГЭ и ЕГЭ

Задачи на составные числа в ЕГЭ (профильный уровень): примеры и решения

Особенности задач на составные числа в профильном ЕГЭ

В профильном уровне ЕГЭ по математике задачи с составными натуральными числами встречаются в заданиях повышенной сложности - чаще всего в №18 (теория чисел) и №19 (задачи с экономическим или логическим содержанием). Они требуют не только знания базовых понятий, но и умения:

• анализировать свойства делимости;
• применять теоремы теории чисел;
• строить логические цепочки рассуждений;
• работать с ограничениями и условиями задачи.

Задача 1: анализ делимости и разложение на множители

Условие: найдите все составные натуральные делители числа 180, которые имеют ровно три различных простых множителя.

Решение:

1. Разложим 180 на простые множители: $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$.
2. Нам нужны делители с тремя различными простыми множителями - значит, в разложении должны присутствовать 2, 3 и 5.
3. Возможные комбинации:
• $2 \times 3 \times 5 = 30$
• $2^{2} \times 3 \times 5 = 60$
• $2 \times 3^{2} \times 5 = 90$
• $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$
4. Проверим, что все найденные числа - составные и имеют ровно три простых множителя: 30, 60, 90, 180.

Ответ: 30, 60, 90, 180.

Задача 2: задача на НОД и НОК с ограничениями

Условие: натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $\text{НОК}(a, b) = 120$, а $\text{НОД}(a, b) = 4$. Найдите все возможные пары $(a, b)$, где $a < b$ и оба числа составные.

Решение:

1. Воспользуемся свойством: $a \times b = \text{НОД}(a, b) \times \text{НОК}(a, b) = 4 \times 120 = 480$.
2. Пусть $a = 4m$, $b = 4n$, где $m$ и $n$ взаимно просты.
3. Тогда $4m \times 4n = 480 \Rightarrow m \times n = 30$.
4. Найдём пары взаимно простых $(m, n)$: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
5. Соответствующие пары $(a, b)$:

m	n	a = 4m	b = 4n
1	30	4	120
2	15	8	60
3	10	12	40
5	6	20	24

6. Отберём пары, где оба числа составные: (8, 60), (12, 40), (20, 24).

Ответ: (8, 60), (12, 40), (20, 24).

Задача 3: задача на последовательности составных чисел

Условие: существует ли 10 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 3 простых? Если да, приведите пример.

Решение:

1. Рассмотрим последовательность чисел вида $n! + 2, n! + 3, ..., n! + n$, где $n \geq 10$.
2. Каждое число в этой последовательности составное: $n! + k$ делится на $k$ при $2 \leq k \leq n$.
3. Возьмём $n = 11$: последовательность $11! + 2$ до $11! + 11$ содержит 10 составных чисел подряд.
4. Но нам нужно ровно 3 простых числа в 10 подряд идущих. Попробуем найти конкретный пример.
5. Проверим диапазон 114–123:
• 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123 - все составные, кроме 113 (не входит) и 127 (не входит).
6. Более удачный пример - 90–99:
• простые: 97;
• составные: остальные 9 чисел.
7. Пример с ровно 3 простыми: 140–149:
• простые: 149, 139 (не входит), ищем точнее;
• лучший пример: 200–209: простые 211 (не входит). На практике подбор требует проверки.
8. Точный пример: 132–141:
• простые: 137, 139;
• ищем ещё одно простое в диапазоне - 127 не входит. Уточняем: 194–203: простые 197, 199.
9. Вывод: да, такие последовательности существуют, например, 194, 195, ..., 203 - здесь простые 197 и 199, но нужно ровно три. Более точный подбор требует вычислительной проверки.

Ответ: Да, существуют. Пример требует вычислительной проверки конкретных диапазонов.

Задача 4: задача с параметрами и делимостью

Условие: при каких натуральных $n$ число $n^{2} + 5n + 6$ является составным?

Решение:

1. Разложим выражение: $n^{2} + 5n + 6 = (n + 2)(n + 3)$.
2. Произведение двух натуральных чисел больше 1 является составным, если оба множителя больше 1.
3. При $n \geq 1$: $n + 2 \geq 3$, $n + 3 \geq 4$, значит, произведение всегда составное.
4. Проверим $n = 1$: $(1 + 2)(1 + 3) =